Mail
Chat
Drive
     

Fractal Dimension of Ice Crystals

Presentation-invitation

Форма и скорость роста кристаллов льда в атмосфере в значительной степени зависят от двух основных параметров состояния – температуры и влажности воздуха. Структура кристаллов льда формируется в результате фазового перехода водяной пар-лед и является классическим примером фракталов, которые по определению имеют дробную размерность.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Г. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры превратил линию в набор несвязанных точек, называемых Пылью Кантора. Термин «фрактал» (от лат. Fractus - дробный) был впервые введен в 1975 году Б.Б. Мандельбротом. Математическое понятие фрактала соответствует объектам состоящих из структурных элементов различных масштабов, которые подобны друг другу, то есть фрактальные объекты самоподобны, их вид не изменяется при изменении масштаба увеличения. Самоподобие фракталов — это одна довольно важная идеализация действительности, которая однако существенно расширяет диапазон применимости фрактальной геометрии.

Размерность математического множества, имеющего фрактальную структуру, называется фрактальной размерностью D и имеет дробное значение в отличие от размерности пространства Евклида, которая может принимать только целые значения (0.0 - точка; 1.0 - линия; 2.0 - плоскость; 3.0 - поверхность).

Обработка экспериментальных данных о зависимости массы кристаллов от их линейного размера позволяет определить фрактальную размерность кристаллов льда:

M ~ l D,

где M - масса кристалла льда, кг; l - размер кристалла, м; D - фрактальная размерность кристалла льда.


Рисунок - Зависимость массы кристаллов льда от их линейного размера


Технология обработки экспериментальных данных

  1. Осуществляется фотографирование кристаллов льда, осажденных на подложке, покрытой гидрофобным веществом
  2. По изображениям кристаллов определяется линейный размер каждого кристалла l (с помощью программы ImageJ)
  3. Образцы кристаллов льда помещаются при температуре выше 273 К
  4. Осуществляется фотографирование капель воды, образовавшихся в результате плавления кристаллов льда
  5. По изображениям капель воды определяется длина каждой капли lв (с помощью программы ImageJ)
  6. По длине капли lв рассчитывается масса капли M (равная массе кристалла льда) по формуле:

M = 130.9 * (2 - 3*cos t + cos 3 t ) * sin -6 t * lв3,

где t - угол смачивания, градус.


Калькулятор массы капли

Угол смачивания:o
Длина капли:м
  
Масса капли:кг


ImageJ 1.44


Методика отделения изображения кристалла от фона

  1. Открыть файл с изображением кристалла выбирав пункт меню File->Open... Для удобства просмотра изображения можно поменять масштаб отображения, для чего нажать кнопку в верхней части окна с изображением Увеличительного стекла: увеличение - щелчок левой кнопкой мыши, уменьшение - правой)
  2. Затем отделить кристалл от фона. Для этого выбирать пункт меню Image->Adjust->Color Threshold... В открывшемся окне в пункте Threshold Color выбирать B&W и убрать галочку около пункта Dark background. Перемещая ползунки под надписью Brightness, устанавить минимальную и максимальную яркость кристалла. Результат можно тут же видеть на изображении. Главное - подобрать min и max так, чтобы по возможности весь кристалл был белым цветом, все остальное - черным. Если будут на фоне оставаться отдельные точки и пятна, то это нормально, их можно будет потом убрать в графическом редакторе (например, в Paint).
  3. Сохранитб полученное изображение в новом файле File -> Save As -> PNG... В поле Enter file name указать новое имя файла. Например, было 1234.jpg, а новое будет 1234.png Нажать кнопку Save
  4. В результате, в том же каталоге появится новое изображение. Именно оно используется далее в Java-программе для расчета размерности.
а) Исходное изображениеб) После обработки
Рис. Пример отделения изображения кристалла от фона


Список источников по теме

  1. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. – М.: Мир, 1993. – 176 с.
  2. Дымников В.П., Филатов А.Н. Устойчивость крупномасштабных атмосферных процессов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1990. – 236 с.
  3. Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB: Учебное пособие. – СПб.: БГТУ, 1996. – 192 с.
  4. Довгалюк Ю.А., Першина Т.А. Атлас снежинок (снежных кристаллов). – СПб.: Гидрометеоиздат, 2005. – 140 с.
  5. Величкин С., Транковский С. Как снять снежинку // Наука и жизнь. – 2006. – №2.
  6. Фотографии кристаллов льда
  7. Фотографии кристаллов льда
  8. Руководство по ImageJ 1.44 (на английском)
  9. Учебник по ImageJ (на английском)
  10. Видеоучебник по ImageJ для начинающих (на английском)
  11. Официальный сайт программы ImageJ
  12. Учебники и примеры по ImageJ (на английском)